lunes, 23 de noviembre de 2009

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA



1.-
a. INTRODUCCION: Sirve para averiguar si dos figuras son semejantes.

b. TEOREMA DE THALES: Si las rectas L1, L2 y L3 son paralelas y cortan a otras dos rectas, r y s, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales:





2.-
Los triángulos están en posición de Thales si :
- Tienen un ángulo común
- Los lados opuestos al ángulo común son paralelos
Es decir, el triángulo pequeño está encajado en el grande.
Dos triángulos en posición de Thales son semejantes.




3.-
En todo triángulo una bisectriz determina en el lado al cual es relativo, segmentos proporcionales a los lados adyacentes a dicha bisectriz
a) TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR: En todo triángulo, los lados concurrentes con una bisectriz interior (a y b) son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz en el lado al cual es relativa


b) TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR: En todo triángulo, los lados concurrentes con una bisectriz exterior (a y b) son proporcio nales a los segmentos determinados por dicha bisectriz en el lado al cual es relativa

c) TEOREMA DEL INCENTRO: (Incentro: Intersección de las bisectrices interiores)
Si “I” es incentro del






TEOREMA DE CEVA





1.-

En Geometría SEMEJANTE significa exactamente la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, pues las figuras pueden ser agrandamientos (estiramientos) o reducciones (encogimientos) una frente a la otra.
Así, las longitudes de los lados correspondientes tienen todas la misma razón. Esta razón se denomina el factor de escala, guardando respectivamente la misma proporción.

2.-

Dos triángulos semejantes tienen:
2.1.- Sus lados proporcionales:


razón de semejanza

2.2.- Sus ángulos, respectivamente iguales:


RAZON DE SEMEJANZA: Es aquel número real y positivo que se obtiene al dividir dos longitudes homólogas de dos triángulos semejantes






3.-

Se llama criterio de semejanza de dos triángulos a un conjunto de condiciones tales que, si se cumplen, tendremos la seguridad de que los triángulos son semejantes:

PRIMER CRITERIO : Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos respectivamente iguales:

 = ´, B = B´ (C = C´)

SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales:

TERCER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.

A = A´

1. LA SEMEJANZA DE LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

CRCRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS: Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen igual uno de sus ángulos agudos.

CCONSECUENCIAS DEL CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS:

Todos los triángulos obtenidos al trazar perpendiculares a algunos de los lados de un triángulo son semejantes.

En un triángulo, la altura sobre la hipotenusa determina dos triángulos semejantes al original.

5.1.TEOREMA DEL CATETO: El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa



5.2.ALTURA: El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en que dicha altura divide a la hipotenusa.